6. Как ДОКАЗАНА иррациональность квадратного корня из числа 2

Видимые огрехи 

математических "недотёп"

После появления в нашем КЛУБЕ заметки "А как "научают" нас учёные-математики ... ?" в рубрике "5. О некоторых иррациональных числах в математике" мы решили привести отдельные факты найденных нами математических "ляп".

Итак, как же доказывают уже в настоящее, послепифагоровское, время наши математики-учёные иррациональность некоторых чисел в математике, в частности иррациональность корня квадратного из числа 2? 

И вот как описал этот факт автор А.Г.Цыпкин в своём «Справочнике по математике», изданным в 100 тысячах экземпляров [1]:

«5.9 Некоторые способы доказательства иррациональности чисел.

Доказательство иррациональности чисел основано на определении иррационального числа. Иррациональность некоторых чисел может быть доказана с помощью метода доказательства «от противного».

Пусть, например, требуется доказать иррациональность числа (2)^1/2. 

Примечание: Здесь и далее написание числа (2)^1/2, а также подобное этому следует понимать как корень квадратный из числа 2. Такая необходимость вызвана невозможностью написания корней в данной транскрипции; при этом приносим свои извинения.

Предположим, что (2)^1/2 - рациональное число, т.е. может быть представлено в виде                                              (2)^1/2 = m/n                                      (1) 

где m и n  взаимно простые натуральные числа. Для доказательства невозможности представления числа (2)^1/2 в виде (1) мы воспользуемся тем, что числа  m и n - взаимно простые. Говоря точнее, мы воспользуемся тем, что числа m и n не являются оба чётными – в противном случае дробь m/n  была бы сократимой.  Возведём обе части равенства (1) в квадрат:

                                       2 =m²/n²  , что то же   2∙n² = m².

Число  2∙m²  чётно. Поэтому m²  и, следовательно, m также чётно. (Хоп-ля-ля, а так ли это - прим. Ал По). Положив, равенство m=2k можно записать в виде:

                  2∙n² = (2k)²,      что то же  2∙n² = 4k²,       а далее   n² = 2k².

Из последнего равенства видно, что число n² также оказывается чётным; следовательно, число n чётно. Мы пришли к заключению, что m и n - чётные числа, в то время как дробь m/n  по предположению несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число (2)^1/2 непредставимо в виде m/n и, следовательно, иррационально.

Аналогичным способом может быть доказана и иррациональность числа (3)^1/2. Только в отличие от предыдущего случая, здесь доказательство будет основано на том, что числаm и n , предполагаемые взаимно простыми, окажутся оба кратными трём».

- Но вот здесь - стоп, стоп! ОСТАНОВИМСЯ. 

Заметим, из последнего равенства, а именно, n² = 2k² , видимо, математик А.Г. Цыпкин делает совершенно неверный вывод: «следовательно, число n чётно». Но ведь здесь вполне очевидно, что если из последнего равенства «грамотно» найти число n  (путём элементарного извлечения квадратного корня из обеих частей равенства,  представленного А.Г Цыпкиным), то получат                                                                                                              n = k∙(2)^1/2.

Ну и где же тут злополучное число n - чётное? Из последнего равенства совершенно не видно, что число n чётное! Оно скорее также неопределённое, как и взятое число (2)^1/2. А значит и нет никакого «противоречия» в принятом «замысле» автора, и, следовательно, им никоим образом не доказана иррациональность числа (2)^1/2. 

Скажем, подобную «бяку» можно заметить и в ранее обозначенном А.Г. Цыпкиным равенстве  2∙n² = m², когда утверждается, что m – чётное число.

Так это только ещё какой-то «справочник»! 

А есть и другие математические «монстры». Так, нечто подобное точь-в точь (видимо, «списывают друг у друга») мы видим и в математической Энциклопедии на странице 180 под заголовком «По следам открытия пифагорийцев» [2].

А что если «копнуть» дальше?

Очевидно, уже только эти факты подтверждают простой, обыкновенный "обман", производимый как бы «грамотными» математиками, приводящий к «искривлённым» понятиям такого «точного» научного предмета как математика.

Ладно. Но вот "некоторые" могут сказать, ну а что взамен этого предлагаете Вы? Ведь должно же быть «в наличии» истинное  доказательство в математике, ну хотя бы той же иррациональности числа (2)^1/2.

-  Да, должно быть, и истинное доказательство нужно искать. И оно скорее есть, чем его нет! И скажем, например, для доказательства иррациональности числа  (2)^1/2  просто необходимо применить иные математические методы, главенствующую роль в которых играет простейшее Утверждение Ал По № 1, в котором заявлено практически следующее:

Утверждение Ал По № 1

Радикал, у которого степень имеет вид натурального числа, кроме 1, из суммы или разности двух чисел, где в случае суммы чисел одно слагаемое имеет вид  натурального числа в степени радикала и второе  - число 1, а в случае разности чисел уменьшаемое имеет вид натуральногочисла больше 1 в степени радикала и второе  - число 1, - всегда иррационален.

Действительно,  числовые примеры, элементарно подтверждают этот факт:

                            (3² +1)^1/2 = 3,262…   - это число иррационально;

                            (3² ‒1)^1/2 = 2,828…   - это число иррационально;

                            (7⁵ +1)^1/5 = 7,00008… - это число иррационально;

                            (7⁵ ‒1)^1/5 = 6,99991… - это число иррационально.

И такое Утверждение имеет строгое математическое доказательство.

       А кто, собственно, против?

Для справки:

1. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1988.- 432 с.

2.Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/ Глав.ред. М.Д.Аксёнова. - М.: Аванта +, 2002. - 688 с.: ил.