9. Доказательство иррациональности КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ из любых чисел

 Доказательство иррациональности квадратных корней 

из любых простых (и непростых) 

чисел по «системе Ал По»

- Итак, по-вашему получается, что можно вполне «удачно» доказать иррациональность квадратного корня  из чисел 5; 6; 7 и т.д? Невероятно!! И практически из любых чисел? Просто невероятно!!

       - Да, можно.

 Доказательство иррациональности квадратного корня из числа  5.
Смотрите: очевидно, что 5 = 4+1. Значит: 5 = 2² +1. И, следовательно,  получат:

                                     (5)^1/2  = (2² +1)^1/2 = w,                                          (1)

где  w - неизвестное число. И очевидно, согласно Утверждению Ал По №1 в равенстве (1) число w – иррационально. Следовательно, квадратный корень из числа 5 – это иррациональное число.

Доказательство иррациональности квадратного корня из числа  6. 

Для этого случая нам необходимо указать такое дополнение к Утверждению Ал По №1, а именно:

Утверждение Ал По № 1-прим

Радикал, у которого степень имеет вид натурального числа, кроме 1, из суммы или разности двух чисел, где в случае суммы чисел одно слагаемое имеет вид натурального числа в степени радикала и второе  - число не более 4, а в случае разности чисел уменьшаемое имеет вид натурального числа больше 4 в степени радикала и второе  - число не более  4, - всегда иррационален.

Действительно, простая степенная (в данном случае  - квадратная) арифметическая прогрессия чисел имеет вид:

              1, 2, 3, 2², (2² +1), (2² +2), … , 3², … , 4², … , 5², … , (n²),

где  n - натуральное число. И числовая разница между наименьшими степенными числами (кроме 1) будет 
                                (3² –2²) = 5; (4² –3²) = 7; (5² –4²) = 9; … ,
где, очевидно, меньшая разность чисел – это число 5.

Следовательно, применяемое в  Утверждении Ал По № 1-прим натуральное число 4 находится как бы в «запасном диапазоне» чисел, никак не дающие очередное предыдущее степенное число в этой арифметической прогрессии.

  Числовые примеры, элементарно подтверждают этот факт:

              (3² + 4)^1/2 = 3,605…   - это число иррационально;

              (3² ‒ 4)^1/2 = 2,236…   - это число иррационально, и т.д.

И тогда смотрите: очевидно, что 6 = 4+2. Значит: 6 = 2² +2. И, следовательно,  имеют:

                                     (6)^1/2  = (2² +2)^1/2 = w,                                          (1)

где  w - неизвестное число. А согласно Утверждению Ал По №1-прим  в равенстве (1) число w – иррационально. Следовательно, квадратный корень из числа 6 – это иррациональное число.

Доказательство иррациональности квадратного корня из числа  7.

Очевидно, что 7 = 9 – 2. Значит: 7 = 3² – 2. И, следовательно,  получат:

                                     (7)^1/2  = (3² – 2)^1/2 = w,                                          (2)

где  w - неизвестное число. А согласно Утверждения Ал По №1-прим  в равенстве (2) число w – иррационально. Следовательно, квадратный корень из числа 7 – это иррациональное число.

      Подобным же образом элементарно просто доказывается иррациональность квадратных корней из любых простых (и непростых) чисел. И данная система доказательства иррациональности квадратных корней получила название: «система Ал По».

     - Э-э-э-э-э, так просто? Ну и ну!