Доказательство иррациональности корня
в степени больше числа 2
из любого натурального числа
- Ну хорошо! А
можно ли доказать иррациональность корней, степень которых больше числа 2, из
любого натурального числа?
- Можно. Почему же нет?
Вот доказательство
иррациональности корня 3-й
степени из числа 2.
Очевидно, что
число 2 = 1+1, что то же 2 = 13 +1.
Положим
(2)1/3 = (13 +1)1/3 = w,
(1)
где w – неизвестное число больше
1.
Из последнего
равенства видно, что согласно Утверждению Ал По №1 число w – иррационально. А поскольку
из равенства (1) имеют (2)1/3 = w, то, следовательно, кубический корень из
числа 2 - это иррациональное число.
Подобным же методом можно доказать и иррациональность корней
в любой степени из натурального числа, кроме 1, из любого целого положительного
числа, кроме 1.
Доказательство
иррациональности корня 5-ой
степени из числа 33.
Положим (33)1/5 =
(32+1)1/5 = w,
где w – неизвестное число.
И теперь, если возвести в 5-ю
степень все части в последнем равенстве, получат вначале 32 +1
= w5, а затем, взяв
корни 5-той степени из обеих частей в последнем равенстве, будут иметь
(32 +1)1/5 = w, или что то же: (25 +1)1/5 = w . А уже из последнего согласно Утверждению Ал
По № 1а, очевидно, w – иррациональное число!
И поскольку, как показано
выше, (33)1/5 = w, то выходит, что число
(33)1/5 ‒ иррационально.
(33)1/5 ‒ иррационально.
Другое дело – вот доказать
иррациональность корня 5-ой степени из числа 37 немного сложнее. Но и в таком
случае у нас есть определённый «математический подход», который мы «нарисуем»
чуть позже.
- Да-а-а-а уж!! Ну и дела-а-а-а.
Всё еще проще.
ОтветитьУдалитьФормула: корень любой степени из любого целого числа может быть или целым, или иррациональным.
Иначе: нецелый корень из целого числа всегда иррационален.
Доказательство:
Допустим, что корень некоей степени из некоего целого числа может быть представлен в виде дроби m/n. Разложим числитель и знаменатель на простые множители (такая факторизация, из основной теоремы арифметики, является единственной), и сократим одинаковые множители, максимально упростив дробь. Если при этом знаменатель полностью сократился, мы получаем целое число и далее его не рассматриваем. В ином случае получаем дробь с полностью разными наборами простых множителей в числителе и знаменателе.
Далее умножаем число само на себя любое количество раз. Очевидно, что наборы множителей не изменятся в любом случае, изменятся только степени множителей, поэтому знаменатель никогда не сократится, т.е. дробь в любой степени никогда не будет целым числом, ЧТД.